Fungsi Gelombang Harmonik

Untuk menentukan fungsi gelombang harmonik, mari kita tinjau sebuah gelombang harmonik yang merambat atau berjalan dari kiri ke kanan sepanjang tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Banyaknya gambar gelombang hanya menunjukkan bahwa gelombang harmonik sedang merambat sepanjang tali. Perambatan gelombang ditandai dengan perubahan bentuk tali pada setiap selang waktu yang berbeda.

Gambar ini menjelaskan sebuah gelombang harmonik yang merambat dari kiri ke kanan sepanjang tali, selama satu periode (T). Dalam satu periode (t = 0 sampai t = T), gelombang harmonik merambat sejauh satu panjang gelombang (lambda).

Ketika gelombang harmonik merambat dari kiri ke kanan sepanjang tali, setiap bagian tali atau setiap titik sepanjang tali berosilasi daam gerak harmonik sederhana di sekitar titik kesetimbangannya dengan amplitudo (A) dan frekuensi (f) yang sama.  Perlu diketahui bahwa walaupun setiap titik sepanjang tali berosilasi dengan  A dan f yang sama tetapi osilasi dari setiap titik tidak sejalan. Untuk memahami hal ini, perhatikan tiga titik (titik a, b dan c) pada gambar di atas. Ketiga titik tersebut hanya digunakan sebagai contoh saja. Pada saat t = 0, titik a, b dan c berhimpit dengan sumbu x atau berada pada posisi setimbang. Dalam hal ini, posisi ketiga titik tersebut pada sumbu y sama dengan nol (y = 0). Pada saat t = 2T/8, titik a dan c berada pada nilai negatif maksimum dari sumbu y, sedangkan titik b berada pada nilai positif maksimum dari sumbu y. Dengan kata lain, titik a dan c berada pada lembah gelombang sedangkan titik b berada pada puncak gelombang. Pada saat t = 4T/8, titik a, b dan c kembali berada pada posisi setimbangnya. Pada saat t = 6T/8, titik a dan c berada pada nilai positif maksimum dari sumbu y, sedangkan titik b berada pada nilai negatif maksimum dari sumbu y. Dengan kata lain, titik a dan c berada pada puncak gelombang sedangkan titik b berada pada lembah gelombang. Pada saat t = T, titik a, b dan c kembali berada pada posisi setimbangnya atau berimpit dengan sumbu x.

Perhatikan bahwa ketika gelombang merambat sepanjang tali, gerakan titik a dan b atau gerakan titik b dan c berbeda selangnya satu sama lain. Sebaliknya gerakan titik a dan c memiliki selang yang sama. Kita menamakan perbedaan ini sebagai selisih fase atau beda fase. Titik a dan b dalam gambar di atas dikatakan memiliki beda fase sebesar setengah siklus atau setengah panjang gelombang. Demikian juga titik b dan c dikatakan memiliki beda fase sebesar setengah siklus atau setengah panjang gelombang (setengah lambda). Sebaliknya titik a dan c sefase atau memiliki fase yang sama (beda fase nol). Karena jarak dari titik a dan c adalah satu panjang gelombang (lambda) maka kita bisa mengatakan bahwa setiap titik yang berjarak satu panjang gelombang pasti memiliki fase yang sama atau sefase atau bergerak dalam satu siklus.

Sekarang mari kita turunkan fungsi gelombang harmonik. Kita tinjau sebuah titik yang pada mulanya berada di titik acuan (x = 0), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar di atas. Dalam pokok bahasan persamaan posisi, kecepatan dan percepatan pada gerak harmonik sederhana (materi getaran), kita sudah menurunkan sebuah persamaan yang menyatakan posisi suatu titik yang melakukan gerak harmonik sederhana. Persamaan ini diturunkan dengan meninjau keterkaitan antara gerak harmonik sederhana dan gerak melingkar beraturan. Sebaiknya pelajari terlebih dahulu materi getaran untuk memudahkan pemahamanmu… karena kita meninjau titik yang pada mulanya berada di titik acuan (gerakan gelombang dimulai dari titik acuan) maka kita gunakan persamaan ini :

Titik tersebut berosilasi dengan amplitudo A, frekuensi f dan frekuensi sudut (omega). Kalau dirimu bingun dengan istilah frekuensi sudut, silahkan pelajari lagi gerak melingkar. Pahami saja keterkaitan antara frekuensi (rpm) dan kelajuan sudut… Perhatikan bahwa titik yang kita tinjau berada di x = 0 sehingga dalam persamaan di atas ditulis notasi y(x = 0, t). Jadi notasi y(x = 0, t) mengingatkan kita bahwa gerakan titik tersebut merupakan kasus khusus dari fungsi gelombang y(x, t) yang menjelaskan keseluruhan gelombang.

Berdasarkan persamaan di atas, bisa dikatakan bahwa bahwa pada saat t = 0, titik yang berada di x = 0 memiliki perpindahan pada sumbu y sebesar nol (y = 0) dan titik tersebut bergerak dalam arah y positif seiring bertambahnya waktu (titik bergerak ke atas menuju puncak gelombang seiring bertambahnya waktu). Dari mana kita tahu bahwa titik tersebut bergerak dalam arah y positif atau bergerak ke atas ? guampang… amplitudo (A) dalam persamaan di atas bernilai positif. Kalo amplitudo bernilai negatif (-A) berarti titik bergerak dalam arah y negatif atau bergerak ke bawah… biar paham, bandingkan dengan gambar sebelumnya…

Seiring bertambahnya waktu, gelombang berjalan dari x = 0 ke titik lain sepanjang sumbu x yang berada di sebelah kanan titik acuan. Karenanya pada waktu t, gerakan titik lain sepanjang sumbu x positif sama seperti gerakan titik yang berada di x = 0 pada waktu sebelumnya (t – t’ = t – x/v). v = s/t’ = x/t’ — t’ = x/v, di mana x merupakan jarak suatu titik dari titik acuan, sedangkan v merupakan laju gelombang yang berjalan sepanjang tali. Untuk menghitung perpindahan suatu titik yang berjarak x dari titik acuan pada waktu t, kita bisa menggantikan t dalam persamaan sebelumnya dengan t – x/v :

Persamaan 1 bisa diobok-obok ke dalam bentuk lain :

Dari persamaan 2, kita bisa mendefinisikan suatu besaran baru yang dikenal dengan julukan bilangan gelombang (k) :

Persamaan 2 bisa ditulis lagi dalam bentuk seperti ini :

Persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 merupakan tiga bentuk fungsi gelombang harmonik yang bergerak dalam arah x positif alias bergerak ke kanan. Dalam menyelesaikan soal, anda bisa menggunakan salah satu dari ketiga bentuk fungsi gelombang sesuai dengan kebutuhan ;)

Kita bisa menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (omega), laju gelombang (v) dan bilangan gelombang (k) :

Persamaan ini menjelaskan hubungan antara frekuensi sudut (omega), laju gelombang (v) dan bilangan gelombang (k).

 

Grafik fungsi gelombang y(x, t)

Sebelumnya kita sudah menurunkan persamaan yang menyatakan bentuk fungsi gelombang harmonik yang berjalan dalam arah sumbu x positif (gelombang berjalan ke kanan). Berdasarkan persamaan tersebut, kita bisa menggambar grafik yang menjelaskan perpindahan titik sepanjang tali pada arah vertikal atau sumbu y diukur dari posisi kesetimbangan atau sumbu x, pada suatu waktu tertentu. Untuk mengambarkan grafik y(x, t) terhadap x, kita pilih t = 0. Persamaan sebelumnya bisa dioprek menjadi seperti ini :

Jika gelombang harmonik tersebut berbentuk transversal yang berjalan sepanjang tali dalam arah sumbu x positif, maka bentuk gelombang dan bentuk tali tampak seperti gambar di bawah.

Untuk mengambarkan grafik y(x, t) terhadap t, kita pilih x = 0. Persamaan sebelumnya bisa dioprek menjadi seperti ini :

Grafik ini menunjukkan posisi sumbu y dari suatu titik yang terletak di x = 0, sebagai fungsi waktu. Perhatikan bahwa grafik ini tidak menggambarkan bentuk gelombang atau bentuk tali.

Fungsi gelombang yang sudah diturunkan sebelumnya menyatakan gelombang harmonik yang berjalan dalam arah x positif (gelombang berjalan ke kanan). Kita bisa mengubah fungsi gelombang tersebut untuk menyatakan gelombang harmonik yang berjalan dalam arah x negatif (gelombang berjalan ke kiri). Seiring bertambahnya waktu, gelombang berjalan dari x = 0 ke titik lain sepanjang sumbu x yang berada di sebelah kiri titik acuan. Karenanya pada waktu t, gerakan titik lain sepanjang sumbu x negatif sama seperti gerakan titik yang berada di x = 0 pada waktu sesudahnya (t + t’ = t + x/v). Jadi kita hanya perlu mengganti tanda negatif dengan positif.

Untuk gelombang yang berjalan dalam arah x negatif, bentuk fungsi gelombangnya dinyatakan oleh tiga persamaan di bawah :

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: